17.一般地,如果函數(shù)f(x)的圖象關于點(a,b)對稱,那么對定義域內(nèi)的任意x,則f(x)+f(2a-x)=2b恒成立,已知函數(shù)f(x)=$\frac{4^x}{{{4^x}+m}}$的定義域為R,其圖象關于$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$對稱.
(1)求常數(shù)m的值;
(2)解關于x的方程:log2[1-f(x)]•log2[4-xf(x)]=2.

分析 (1)根據(jù)函數(shù)關于點對稱的關系式,解方程即可得到結(jié)論;(2)令log2(4x+2)t,則原方程可變?yōu)椋簍2-t-2=0,解得:t=-1或t=2,從而求出x的值即可.

解答 解;(1)∵函數(shù)f(x)=$\frac{4^x}{{{4^x}+m}}$的圖象關于點M($\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2}$)對稱,
∴f(x)+f(1-x)=1,
即當x=$\frac{1}{2}$時,f($\frac{1}{2}$)+f($\frac{1}{2}$)=1,
即f($\frac{1}{2}$)=$\frac{1}{2}$,
則f($\frac{1}{2}$)=$\frac{{4}^{\frac{1}{2}}}{{4}^{\frac{1}{2}}+m}$=$\frac{2}{2+m}$=$\frac{1}{2}$,解得m=2;
(2)由(1)得:f(x)=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$,
∴l(xiāng)og2[1-f(x)]•log2[4-xf(x)]
=log2$\frac{2}{{4}^{x}+2}$log2$\frac{1}{{4}^{x}+2}$
=[log2(4x+2)-1]log2(4x+2),
令log2(4x+2)t,則原方程可變?yōu)椋?br />t2-t-2=0,解得:t=-1或t=2,
當t=-1時,log2(4x+2)=-1,即4x=-$\frac{3}{2}$,無解,
當t=2時,log2(4x+2)=2,即4x=2,解得:x=$\frac{1}{2}$.

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì),考查換元思想,是一道中檔題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

19.在△ABC中,“A>$\frac{π}{3}$”是“sinA>$\frac{\sqrt{3}}{2}$”的( 。
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.拋物線的頂點在原點,焦點是圓x2+y2-4x=0的圓心.
(1)求拋物線的方程;
(2)直線l的斜率為2,且過拋物線的焦點,若l與拋物線、圓依次交于A,B,C,D,四個點,求|AB|+|CD|.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

5.已知函數(shù)f(x)=ex-3+x-2(e為自然對數(shù)的底數(shù)),g(x)=x2-ax-a+3,若存在實數(shù)x1,x2,使得f(x1)=g(x2)=0,且|x1-x2|≤1,則實數(shù)a的取值范圍是[2,3].

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

12.若下面框圖所給程序運行結(jié)果為M=23,那么判斷框(1)中應填入關于K的條件是( 。
A.k=5B.k≤5C.k<5D.k>5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

2.已知f(x)是偶函數(shù),當x<0時,f(x)=x(x-1),則當x>0時,f(x)=( 。
A.x(x-1)B.x(x+1)C.-x(x-1)D.-x(x+1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

9.若a,b,c表示不同的直線,β表示平面,則下列說法正確的個數(shù)有(1)(4).
(1)若a∥b,b∥c,則a∥c;
(2)若a⊥b,b⊥c,則a⊥c;
(3)若a∥β,b∥β,則a∥b;
(4)若a⊥β,b⊥β,則a∥b.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

6.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},
(Ⅰ)若A⊆B,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)若A∩B=(-1,n),求實數(shù)m,n的值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

7.設數(shù)列{an}滿足:a1=1,a2=2,an+2=$\frac{{a}_{n}({a}_{n+1}^{2}+1)}{{a}_{a}^{2}+1}$(n≥1,n∈N*),令bn=$\frac{{{a_{n+1}}}}{{{a_n}+\frac{1}{a_n}}}$.
(1)求證:數(shù)列{bn}是常數(shù)列;
(2)求證:當n≥2時,2<an2-a2n-1≤3;
(3)求a2015的整數(shù)部分.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案