Question

17．一般地，如果函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（a，b）對稱，那么對定義域內(nèi)的任意x，則f（x）+f（2a-x）=2b恒成立，已知函數(shù)f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+m}}$的定義域為R，其圖象關(guān)于$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$對稱．
（1）求常數(shù)m的值；
（2）解關(guān)于x的方程：log₂[1-f（x）]•log₂[4^-xf（x）]=2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)關(guān)于點對稱的關(guān)系式，解方程即可得到結(jié)論；（2）令log₂（4^x+2）t，則原方程可變?yōu)椋簍²-t-2=0，解得：t=-1或t=2，從而求出x的值即可．

解答 解；（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{4^x}{{{4^x}+m}}$的圖象關(guān)于點M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）對稱，
∴f（x）+f（1-x）=1，
即當x=$\frac{1}{2}$時，f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=1，
即f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
則f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{4}^{\frac{1}{2}}}{{4}^{\frac{1}{2}}+m}$=$\frac{2}{2+m}$=$\frac{1}{2}$，解得m=2；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{{4}^{x}}{{4}^{x}+2}$，
∴l(xiāng)og₂[1-f（x）]•log₂[4^-xf（x）]
=log₂$\frac{2}{{4}^{x}+2}$log₂$\frac{1}{{4}^{x}+2}$
=[log₂（4^x+2）-1]log₂（4^x+2），
令log₂（4^x+2）t，則原方程可變?yōu)椋?br />t²-t-2=0，解得：t=-1或t=2，
當t=-1時，log₂（4^x+2）=-1，即4^x=-$\frac{3}{2}$，無解，
當t=2時，log₂（4^x+2）=2，即4^x=2，解得：x=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，考查換元思想，是一道中檔題．