Question

1．已知直線l_n：y=x-$\sqrt{2n}$ 與圓C_n：x²+y²=2a_n+n交于不同的兩點A_n、B_n，n∈N⁺，數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{4}$|A_nB_n|²，則數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^{n-1}}$．

Answer 1

分析 運用點到直線的距離公式和弦長公式，求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，再由等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列{a_n}的通項公式．

解答 解：圓C_n：x²+y²=2a_n+n的圓心（0，0）到直線L_n的距離為d_n=$\frac{|\sqrt{2n}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{n}$，
半徑${r}_{n}=\sqrt{2{a}_{n}+n}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{4}$|A_nB_n|²=${{r}_{n}}^{2}-{lmd944a_{n}}^{2}$=2a_n+n-n=2a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，又a₁=1，
∴{a_n}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
故答案為：${a_n}={2^{n-1}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，同時考查直線和圓相交的弦長公式，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．