Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|．（a＞1）
（1）若不等式f（x）≥2的解集為{x|x≤$\frac{1}{2}$或x$≥\frac{5}{2}$}，求a的值；
（2）?x∈R，f（x）+|x-1|≥1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，求出不等式的解集，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系求出a的值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為：2|x-1|+|x-a|≥1．通過討論x的范圍，求出不等式的解集，從而確定出a的范圍即可．

解答 解：（1）$f（x）=|x-1|+|x-a|=\left\{\begin{array}{l}2x-a-1，x≥a\\ a-1，1≤x＜a\\-2x+a+1，x＜1\end{array}\right.$，
x≥a時，2x-a-1≥2得$x≥\frac{a+3}{2}=\frac{5}{2}$，
x＜1時，-2x+a+1≥2得$x≤\frac{a-1}{2}=\frac{1}{2}$
綜上得：a=2．                                            
（2）由x∈R，f（x）+|x-1|≥1可得2|x-1|+|x-a|≥1．
當x≥a時，只要3x-2-a≥1恒成立即可，此時只要$3a-2-a≥1⇒a≥\frac{3}{2}$；
當1＜x≤a時，只要x-2+a≥1恒成立即可，此時只要1-2+a≥1⇒a≥2；
當x＜1時，只要-3x+2+a≥1恒成立即可，此時只要-3+2+a≥1⇒a≥2，
綜上a∈[2，+∞）．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，考查分類討論思想，是一道中檔題．