Question

10．討論函數(shù)f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x+{x}^{3}{e}^{nx}}{x+{e}^{nx}}$的連續(xù)性（n為正整數(shù)）．

Answer 1

分析 利用函數(shù)連續(xù)的定義即可判斷出結(jié)論．

解答 解：當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，
x≠0時(shí)，f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x+{x}^{3}{e}^{nx}}{x+{e}^{nx}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{x}{{e}^{nx}}+{x}^{3}}{\frac{x}{{e}^{nx}}+1}$=x³，∴x→0時(shí)，f（x）→0，
因此函數(shù)f（x）在x=0處連續(xù)．
x≠0時(shí)，函數(shù)f（x）連續(xù)．
因此函數(shù)x∈R時(shí)連續(xù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)連續(xù)的定義、極限的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．