Question

13．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項的和是S_n，且任意n∈N₊，都有$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=|a_n-20|，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式求得首項，再由2a_n=2S_n-2S_n-1整理得到a_n-a_n-1=1，可得數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=|a_n-20|，然后對n分類討論求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）由題意知：當(dāng)n=1時，2S₁=${{a}_{1}}^{2}+{a}_{1}$，∴${{a}_{1}}^{2}={a}_{1}$，
得a₁=1（a_n＞0）；
當(dāng)n≥2時，2a_n=2S_n-2S_n-1=${{a}_{n}}^{2}+{a}_{n}-（{{a}_{n-1}}^{2}+{a}_{n-1}）$，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=n；
（2）由（1）知a_n=n，
∴b_n=|n-20|，
當(dāng)n≤20時，T_n=|1-20|+|2-20|+…+|n-20|=20n-（1+2+…+n）=$\frac{{39n-{n^2}}}{2}$；
當(dāng)n＞20時，T_n=|1-20|+|2-20|+…+|20-20|+|21-20|+…+|n-20|=190+1+2+…+（n-20）
=$190+\frac{（n-20）（n-19）}{2}$=$\frac{{{n^2}-39n+760}}{2}$．
綜上：${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{\frac{39n-{n}^{2}}{2}，n≤20}\\{\frac{{n}^{2}-39n+760}{2}，n＞20}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等差數(shù)列通項公式的求法，考查了等差數(shù)列的前n項和，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．