Question

3．經(jīng)過點M（2，1）作直線l交雙曲線x²-$\frac{y^2}{2}$=1于A，B兩點，且M為AB的中點，則直線l的方程為（　　）

• A． 4x+y+7=0
• B． 4x+y-7=0
• C． 4x-y-7=0
• D． 4x-y+7=0

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入雙曲線的方程，運用點差法，結(jié)合中點坐標公式和直線的斜率公式，由點斜式方程可得直線AB的方程，代入雙曲線的方程，由判別式的符號，即可得到判斷直線的存在性．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁²-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2}$=1，x₂²-$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2}$=1，
兩式相減可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{{（y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=0，
M為AB的中點，即有x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
可得直線AB的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2×4}{2}$=4，
即有直線AB的方程為y-1=4（x-2），即為4x-y-7=0．
由y=4x-7代入雙曲線的方程x²-$\frac{y^2}{2}$=1，可得14x²-56x+51=0，
即有△=56²-4×14×51=280＞0，故存在直線AB，其方程為4x-y-7=0．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的中點弦所在直線方程的求法，注意運用點差法，注意檢驗直線的方程的存在性，考查運算能力，屬于中檔題．