Question

20．已知 函數(shù)F（x）=$\frac{a}{3}$x³+$\frac{2}$x²+x（a＞0），f（x）=F′（x），若f（-1）=0且對任意實數(shù)x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）表達式；
（2）若h（x）=F（x）+$\frac{t}{2}$x²+（2t-1）x，求h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的不等式組，求出a，b的值即可；（2）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）F′（x）=f（x）=ax²+bx+1，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以F（xx）=$\frac{1}{3}$x³+x²+x；
（2）因為h（x）=F（x）+$\frac{t}{2}$x²+（2t-1）x，
所以h′（x）=x²+（2+t）x+2t，
所以：當t=2時h′（x）≥0恒成立，
所以h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間，
當t＞2時，-t＜-2，由h′（x）≥0，得：x≥-2或x≤-t，
h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-2，+∞），（-∞，-t]；單調(diào)遞減區(qū)間為[-2，-t]，
當t＜2時，-t＞-2，由h′≥0，得：x≥-t或x≤-2，
h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-t，+∞），（-∞，-2]；單調(diào)遞減區(qū)間為[-t，-2]．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．