Question

8．已知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₃=3，S₃=9
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)b_n=log₂$\frac{3}{{a}_{2n+3}}$，且{b_n}為遞增數(shù)列．若c_n=$\frac{8}{_{n}_{n+1}}$，求證：c₁+c₂+…+c_n＜2．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程即可求得q的值，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可知：b_n=log₂$\frac{3}{{a}_{2n+3}}$=2n，即可求得{c_n}的通項(xiàng)公式，采用“裂項(xiàng)法”即可求得{c_n}前n項(xiàng)和，即可求得c₁+c₂+…+c_n＜2．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q．由S₃=a₁+a₂+a₃=9，a₃=3，
∴$\frac{3}{{q}^{2}}$+$\frac{2}{q}$+3=9，解得q=1或q=-$\frac{1}{2}$，…3
當(dāng)q=1時(shí)，a_n=3，
當(dāng)q=-$\frac{1}{2}$時(shí)，a_n=a₃q^n-3=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-3；
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3或a_n=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-3；…6
（2）證明：由數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，則a_n=3，不合題意…8
當(dāng)a_n=a₃q^n-3=3×（-$\frac{1}{2}$）^n-3時(shí)，則b_n=log₂$\frac{3}{{a}_{2n+3}}$=2n，符合題意．
∴c_n=$\frac{8}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
c₁+c₂+…+c_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2，
∴c₁+c₂+…+c_n＜2．…12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．