Question

4．已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（a，b常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{3π}{4}$處取得最小值，則函數(shù)y=f（$\frac{π}{4}$-x）是（　�。�

• A． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱
• B． 偶函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對(duì)稱
• C． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{3π}{2}$，0）對(duì)稱
• D． 奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）在x=$\frac{3π}{4}$處取得最小值，求得a=b，f（x）=$\sqrt{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$），可得f（$\frac{π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asinx，從而得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ）（a，b常數(shù)，a≠0，x∈R），
根據(jù)函數(shù)f（x）在x=$\frac{3π}{4}$處取得最小值，則f（$\frac{3π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=-$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$，∴a=b，
∴f（x）=asinx-acosx=$\sqrt{2}$asin（x-$\frac{π}{4}$），∴f（$\frac{π}{4}$-x）=$\sqrt{2}$asin（$\frac{π}{4}$-x-$\frac{π}{4}$）=-$\sqrt{2}$asinx，
故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且它的圖象關(guān)于點(diǎn)（π，0）對(duì)稱，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔角公式、三角函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性．對(duì)于三角函數(shù)的基本性質(zhì)要熟練掌握，這是解題的根本，屬于基礎(chǔ)題．