Question

已知函數(shù)f（x）=

1-|x+1|，(x∈(-2，0]) f(x-2)，(x∈(0，+∞))

（1）求f（3）；
（2）求函數(shù)y=2f²（x）-3f（x）+1在[-2，2]上的零點；
（3）寫出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（不用寫過程）．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)零點的判定定理,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)分段函數(shù)f（x），f（3）=f（1）=f（-1），而f（-1）=1-|-1+1|=1，從而便求出了f（3）；
（2）先求出該函數(shù)在（-2，0]上的零點，再根據(jù)解析式求出在（0，2]上的零點；
（3）根據(jù)f（x）解析式可看出：該函數(shù)為周期為2的周期函數(shù)，所以去絕對值，求出f（x）在（-2，0]上的單調(diào)遞增區(qū)間，根據(jù)周期求出它在定義域（-2，+∞）上的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答： 解：（1）由f（x）解析式，f（3）=f（1）=f（-1）=1；
（2）令2f²（x）-3f（x）+1=0；
∴（2f（x）-1）（（f（x）-1）=0；
∴f(x)=

1

2

，或1；
∴1-|x+1|=

1

2

，或1；
∴x=-

3

2

，-

1

2

，或-1；
又f（1）=f（-1），f(

3

2

)=f(-

1

2

)，f(

1

2

)=f(-

3

2

)；
∴該函數(shù)在[-2，2]上的零點為-

3

2

，-1，-

1

2

，

1

2

，1，或

3

2

；
（3）由f（x）解析式知該函數(shù)周期為2，f（x）=1-|x+1|=

-x x∈[-1+2n，2n] x+2 x∈(-2+2n，-1+2n)

，n∈N；
∴y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2+2n，-1+2n），n∈N．

點評：考查求分段函數(shù)函數(shù)值的方法，函數(shù)零點的概念，及求分段函數(shù)零點的方法，以及求分段函數(shù)、周期函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法與過程．