Question

9．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，BB₁=2，連接A₁C，BD．
（1）求三棱錐A₁-BCD的體積
（2）求證：BD⊥平面A₁AC．

Answer 1

分析 （1）以BCD為棱錐的底面，則AA₁為棱錐的高，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可；
（2）連結(jié)AC，由底面正方形可知BD⊥AC，由AA₁⊥平面ABCD可知AA₁⊥BD，故而B(niǎo)D⊥平面A₁AC．

解答 解：（1）在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁A⊥平面ABCD，
即A₁A是三棱錐A₁-BCD的高，
∵AA₁=BB₁=2，AB=BC=1，∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}BC×CD=\frac{1}{2}$．
∴${V_{三棱錐{A_1}-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}×{A_1}A=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2=\frac{1}{3}$．
證明：（2）連結(jié)AC，
∵A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴A₁A⊥BD．
又AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
∵AC?平面A₁AC，A₁A?平面A₁AC，A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．