Question

14．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∠B₁A₁C₁=90°，D、E分別為CC₁和A₁B₁的中點，且A₁A=AC=2AB=2．
（1）求證：C₁E∥平面A₁BD；
（2）求三棱錐C₁-A₁BD的體積．

Answer 1

分析 （1）取A₁B的中點F，連結(jié)EF，F(xiàn)D．則可證明四邊形EFDC₁是平行四邊形，故而C₁E∥DF，得出結(jié)論；
（2）證出A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，則V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BD}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•{A}_{1}{B}_{1}$．

解答 證明：（1）取A₁B的中點F，連結(jié)EF，F(xiàn)D．
∵E，F(xiàn)是A₁B₁，A₁B的中點，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BB₁，
又BB₁$\stackrel{∥}{=}$CC₁，D是CC₁的中點，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$C₁D，
∴四邊形EFDC₁是平行四邊形，
∴C₁E∥DF，又DF?平面A₁BD，C₁E?平面A₁BD，
∴C₁E∥平面A₁BD．
解：（2）∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁B₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥A₁B₁，
∵∠B₁A₁C₁=90°，
∴A₁B₁⊥A₁C₁，
又AA₁?平面AA₁C₁C，A₁C₁?平面AA₁C₁C，AA₁∩A₁C₁=A₁，
∴A₁B₁⊥平面AA₁C₁C，
∵AA₁∥BB₁，
∴V${\;}_{{C}_{1}-{A}_{1}BD}$=V${\;}_{B-{A}_{1}{C}_{1}D}$=V${\;}_{{B}_{1}-{A}_{1}{C}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{△{A}_{1}{C}_{1}D}•{A}_{1}{B}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×1×1$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．