Question

17．如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，BE⊥平面ABCD，
（1）證明：平面AEC⊥平面BED；
（2）若∠ABC=120°，AE⊥EC，S_△EAC=3，令A(yù)E與平面ABCD所成角為θ，且sinθ=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求該四棱錐E-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，BE⊥AC，可得AC⊥平面BED，利用平面與平面垂直的判定定理證明平面AEC⊥平面BED；
（2）利用AE⊥EC，S_△EAC=3，求出EB=$\sqrt{2}$，AB=2，即可求該四棱錐E-ABCD的體積．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點，
∴AC⊥BD．
∵BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC，
∵BE∩BD=B，
∴AC⊥平面BED，
∵AC?平面AEC，
∴平面AEC⊥平面BED；
解：（2）由題意∠EAB=θ，
設(shè)EB=a，則AB=$\sqrt{2}$a，AE=$\sqrt{3}$a，
∴CE=$\sqrt{3}$a，
∵AE⊥EC，S_△EAC=3，
∴$\frac{1}{2}×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a$=3，
∴a=$\sqrt{2}$，
∴EB=$\sqrt{2}$，AB=2，
∵∠ABC=120°，∴S_ABCD=$2×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴四棱錐E-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×2\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查四棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．