Question

11．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+$\frac{a}{x+2}$．
（1）當a=$\frac{25}{4}$時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若當x＞0時．f（x）＞1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導數(shù)，利用導數(shù)小于0，即可求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）由ln（x+1）+$\frac{a}{x+2}$＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1），記g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，確定函數(shù)的最值，即可求a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=$\frac{25}{4}$時，f′（x）=$\frac{（4x+3）（x-3）}{4（x+1）（x+2）^{2}}$（x＞-1）
令f′（x）＜0，可得-$\frac{3}{4}$＜x＜3，∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\frac{3}{4}$，3）…（4分）
（2）由ln（x+1）+$\frac{a}{x+2}$＞1得a＞（x+2）-（x+2）ln（x+1）
記g（x）=（x+2）[1-ln（x+1）]，則g′（x）=1-ln（x+1）-$\frac{x+2}{x+1}$=-ln（x+1）-$\frac{1}{x+1}$
當x＞0時，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）遞減
又g（0）=2[1-ln1]=2，∴g（x）＜2（x＞0），∴a≥2．

點評 考查根據(jù)函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法以及構(gòu)造函數(shù)解決問題的方法，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時需注意函數(shù)的定義域．