Question

11．已知兩曲線f（x）=cosx，g（x）=$\sqrt{3}$sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$）相交于點(diǎn)A．若兩曲線在點(diǎn)A處的切線與x軸分別相交于B，C兩點(diǎn)，則線段BC的長(zhǎng)為$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）=g（x），運(yùn)用同角的商數(shù)關(guān)系，求得A的坐標(biāo)，求出f（x），g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，令y=0，可得B，C的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：由f（x）=g（x），即cosx=$\sqrt{3}$sinx，x∈（0，$\frac{π}{2}$），
可得tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得x=$\frac{π}{6}$，
即有A（$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由f′（x）=-sinx，g′（x）=$\sqrt{3}$cosx，
可得兩曲線在點(diǎn)A處的切線斜率分別為-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$，
可得切線的方程分別為y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{π}{6}$），
y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-$\frac{π}{6}$），
再令y=0，可得x_B=$\frac{π}{6}$+$\sqrt{3}$，x_C=$\frac{π}{6}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則|BC|=|x_B-x_C|=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，同時(shí)考查三角方程的求解方法，直線方程的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．