Question

6．某工廠要安排生產(chǎn)Ⅰ，Ⅱ兩種產(chǎn)品，這些產(chǎn)品要在A，B，C，D四種不同的設(shè)備上加工，按工藝規(guī)定，在一天內(nèi)，每件產(chǎn)品在各設(shè)備上需要加工的時(shí)間，及各設(shè)備限制最長(zhǎng)使用時(shí)間如下表：

設(shè)備	產(chǎn)品Ⅰ每件需要加工時(shí)間	產(chǎn)品Ⅱ每件需要加工時(shí)間	設(shè)備最長(zhǎng)使用時(shí)間
A	2小時(shí)	2小時(shí)	12小時(shí)
B	1小時(shí)	2小時(shí)	8小時(shí)
C	4小時(shí)	0小時(shí)	16小時(shí)
D	0小時(shí)	4小時(shí)	12小時(shí)

設(shè)計(jì)劃每天生產(chǎn)產(chǎn)品Ⅰ的數(shù)量為x（件），產(chǎn)品Ⅱ的數(shù)量為y（件），
（Ⅰ）用x，y列出滿(mǎn)足設(shè)備限制使用要求的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域；
（Ⅱ）已知產(chǎn)品Ⅰ每件利潤(rùn)2（萬(wàn)元）產(chǎn)品Ⅱ每件利潤(rùn)3（萬(wàn)元），在滿(mǎn)足設(shè)備限制使用要求的情況下，問(wèn)該工廠在每天內(nèi)產(chǎn)品Ⅰ，產(chǎn)品Ⅱ各生產(chǎn)多少會(huì)使利潤(rùn)最大，并求出最大利潤(rùn)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件建立不等式關(guān)系即可得到結(jié)論．
（2）利用線性規(guī)劃的知識(shí)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）產(chǎn)品Ⅰ的數(shù)量為x，產(chǎn)品Ⅱ的數(shù)量為y，
x，y所滿(mǎn)足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：$\left\{\begin{array}{l}{2x+2y≤12}\\{x+2y≤8}\\{0≤4x≤16}\\{0≤4y≤12}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤6}\\{x+2y≤8}\\{0≤x≤4}\\{0≤y≤3}\end{array}\right.$
畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域（圖中陰影部分）


（Ⅱ）設(shè)最大利潤(rùn)為z（萬(wàn)元），則目標(biāo)函數(shù)z=2x+3y，
將z=2x+3y變形y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$，這是斜率為-$\frac{2}{3}$，隨z變化的一組平行直線，$\frac{z}{3}$是直線在y軸上的截距，當(dāng)$\frac{z}{3}$取得最大值時(shí)，z的值最大，
又因?yàn)閤，y所滿(mǎn)足的約束條件，所以由圖可知，當(dāng)直線y=-$\frac{2}{3}$x+$\frac{z}{3}$經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距$\frac{z}{3}$最大，
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=8}\\{4x=16}\end{array}\right.$得點(diǎn)M坐標(biāo)為（4，2），此時(shí)z=2×4+3×2=14．
所以，每天安排生產(chǎn)4件產(chǎn)品Ⅰ，2件產(chǎn)品Ⅱ，會(huì)使利潤(rùn)最大為14（萬(wàn)元）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用問(wèn)題，根據(jù)條件建立不等式關(guān)系，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的應(yīng)用能力．