Question

5．在平面直角坐標系xOy中，已知圓（x-a）²+（y-b）²=1（a，b∈R）截直線x+2y-1=0所得弦長為$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，則ab的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 先求出圓（x-a）²+（y-b）²=1的圓心和半徑，再求出圓心（a，b）到直線x+2y-1=0的距離，由此概率圓（x-a）²+（y-b）²=1（a，b∈R）截直線x+2y-1=0所得弦長為$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，由勾股定理和基本不等式能求出ab取最大值．

解答 解：∵圓（x-a）²+（y-b）²=1的圓心（a，b），半徑r=1，
圓心（a，b）到直線x+2y-1=0的距離d=$\frac{|a+2b-1|}{\sqrt{1+4}}$=$\frac{|a+2b-1|}{\sqrt{5}}$，
∵圓（x-a）²+（y-b）²=1（a，b∈R）截直線x+2y-1=0所得弦長為$\frac{4}{5}$$\sqrt{5}$，
由勾股定理得${r}^{2}=luqorpo^{2}+（\frac{1}{2}×\frac{4}{5}\sqrt{5}）^{2}$，
即1=$\frac{（a+2b-1）^{2}}{5}$+$\frac{4}{5}$，
∴a+2b=2或a+2b=0，
∴當a＞0，b＞0，a+2b=2，
2ab≤（$\frac{a+2b}{2}$）²=1，∴ab$≤\frac{1}{2}$．
∴當且僅當a=2b=1時，ab取最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查代數(shù)式的乘積的最大值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)和點到直線的距離公式的合理運用．