Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分別是等比數(shù)列{b_n}的第二項、第三項、第四項．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比中項可得方程（1+d）（1+13d）=（1+4d）²，計算可知公差d，進而代入可知等比數(shù)列{b_n}的公比q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{9}{3}$=3，計算即得結論；
（2）通過（1）可分別求出等差數(shù)列{a_n}、等比數(shù)列{b_n}的前n項和，進而相加即得結論．

解答 解：（1）依題意，（1+d）（1+13d）=（1+4d）²，
整理得：3d（d-2）=0，解得：d=2或d=0（舍），
∴a_n=2n-1，
∵等比數(shù)列{b_n}的公比q=$\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{9}{3}$=3，a₂=b₂=3，
∴b_n=b₂•q^n-2=3•3^n-2=3^n-1，故b_n=3^n-1．
（2）由（1）可知，數(shù)列{a_n}的前n項和P_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²，
數(shù)列{b_n}的前n項和Q_n=$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$=$\frac{{3}^{n}-1}{2}$，
故數(shù)列{a_n+b_n}的前n項和S_n=P_n+Q_n=n²+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，考查分組求和法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．