Question

3．過(guò)拋物線(xiàn)y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)F作圓C：x²+y²-8y+15=0的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為M、N，已知直線(xiàn)MN：3y-11=0．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)A、B，若以AB為直徑的圓與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，圓C的圓心與半徑，利用射影定理，建立方程，即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合以AB為直徑的圓與圓C相切，求直線(xiàn)l的方程．

解答 解：（1）拋物線(xiàn)y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)F（0，$\frac{1}{4a}$），圓C：x²+y²-8y+15=0的圓心（0，4），半徑為1，C到直線(xiàn)MN：3y-11=0的距離為$\frac{1}{3}$，
∴由射影定理可，1²=$\frac{1}{3}•（4-\frac{1}{4a}）$，∴a=$\frac{1}{4}$；
（2）拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x²=4y，焦點(diǎn)F（0，1），y=1時(shí)，x=±2，
∵圓C：x²+y²-8y+15=0的圓心（0，4），半徑為1，
∴以（0，1）為圓心，2為半徑的圓與圓C相切，
∴直線(xiàn)l的方程為y=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線(xiàn)方程，考查圓與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．