Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，且點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=x+1的圖象上（n∈N^*），數(shù)列{b_n}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，且b₂=2，b₄=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{c_n}滿足c_n=（-1）ⁿa_n+b_n，記數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T₁₀₀的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由于點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=x+1的圖象上（n∈N^*），可得a_n+1=a_n+1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．?dāng)?shù)列{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，由于b₂=2，
b₄=8，可得b₄=b₁q³=8，b₁q=2．解出即可．
（II）數(shù)列{c_n}滿足c_n=（-1）ⁿa_n+b_n=（-1）ⁿn+2^n-1，可得T₁₀₀=（-1+2-3+4+…+100）+（1+2+2²+…+2⁹⁹），利用分組求和與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（I）∵點(diǎn)（a_n，a_n+1）在函數(shù)y=x+1的圖象上（n∈N^*），
∴a_n+1=a_n+1，即a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n．
數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
∵b₂=2，b₄=8，
∴b₄=b₁q³=8，b₁q=2．
b_n＞0，
∴b₁=1，q=2．
∴b_n=2^n-1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵數(shù)列{c_n}滿足c_n=（-1）ⁿa_n+b_n=（-1）ⁿn+2^n-1，
∴T₁₀₀=（-1+2-3+4+…+100）+（1+2+2²+…+2⁹⁹）
=50+

2100-1

2-1

=50+2¹⁰⁰-1
=22¹⁰⁰+49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“分組求和”方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．