Question

7．給出下列敘述：
①若過點(diǎn)A（m-1，2）和點(diǎn)B（1，2m+1）的直線的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，則m=-1；
②在△ABC中，若cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，則△ABC的面積為4；
③若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈也成等比數(shù)列；
④若函數(shù)f（x）=cosx+$\frac{1}{cosx+2}$（x∈R），則f（x）的最小值為0．
其中所有正確敘述的序號(hào)是①③④．

Answer 1

分析 由兩點(diǎn)求斜率結(jié)合直線的傾斜角求得m值判斷①；由已知結(jié)合倍角公式求得cosA，再由數(shù)量積運(yùn)算求得$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=5$，代入三角形面積求得面積判斷②；由等比數(shù)列的第一個(gè)n項(xiàng)和、第二個(gè)n項(xiàng)和、…、第n個(gè)n項(xiàng)和仍然成等比數(shù)列判斷 ③；配方法利用函數(shù)單調(diào)性求得最值判斷④．

解答 解：對(duì)于①，過點(diǎn)A（m-1，2）和點(diǎn)B（1，2m+1）的直線的傾斜角為$\frac{3π}{4}$，則$\frac{2m+1-2}{1-m+1}=tan\frac{3π}{4}=-1$，解得m=-1，故①正確；
對(duì)于②，在△ABC中，若cos$\frac{A}{2}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，則cosA=$2co{s}^{2}\frac{A}{2}-1=2×（\frac{2\sqrt{5}}{5}）^{2}-1=\frac{3}{5}$，∴sinA=$\frac{4}{5}$，
由$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=3$，得$|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cosA=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|•\frac{3}{5}=3$，∴$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|=5$，則△ABC的面積為S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|•sinA=\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}=2$，故②錯(cuò)誤；
③若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為S_n，則S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈也成等比數(shù)列，正確．
事實(shí)上，公比為1時(shí)，S₄=4a₁，S₈-S₄=4a₁，S₁₂-S₈=4a₁，成等比數(shù)列，公比q≠1時(shí)，${S}_{4}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，${S}_{8}-{S}_{4}=\frac{{a}_{1}{q}^{4}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，S₁₂-S₈=$\frac{{a}_{1}{q}^{8}（1-{q}^{4}）}{1-q}$，
滿足$\frac{{S}_{8}-{S}_{4}}{{S}_{4}}=\frac{{S}_{12}-{S}_{8}}{{S}_{8}-{S}_{4}}={q}^{4}$；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）=cosx+$\frac{1}{cosx+2}$=cosx+2+$\frac{1}{cosx+2}$-2（x∈R），當(dāng)cosx=-1時(shí)，f（x）的最小值為0，故④正確．
∴正確命題的序號(hào)為①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了直線的斜率和傾斜角的關(guān)系，考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了數(shù)列等比關(guān)系的確定，考查三角函數(shù)最值的求法，屬中檔題．