Question

5．在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為（a，b），點B的坐標(biāo)為（cosωx，sinωx），其中ω＞0．設(shè)f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$．
（1）記函數(shù)y=f（x）的正的零點從小到大構(gòu)成數(shù)列{a_n}（n∈N^*），當(dāng)a=$\sqrt{3}$，b=1，ω=2時，求{a_n}的通項公式與前n項和S_n；
（2）令ω=1，a=t²，b=（1-t）²，若不等式f（θ）-$\sqrt{ab}$＞0對任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和的正弦公式可得f（x）的解析式，令f（x）=0，求出零點，再由等差數(shù)列的通項公式和求和公式，即可得到所求；
（2）由題意可得（1+sinθ+cosθ）t²-（2sinθ+1）t+sinθ＞0對任意的t∈[0，1]恒成立．令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．求出對稱軸＜1恒成立，可得判別式小于0，由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求θ的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=acosωx+bsinωx=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
由2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=0，可得2x+$\frac{π}{3}$=kπ，即x_k=-$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
當(dāng)k=1時，x₁=$\frac{π}{3}$＞0，且x_k+1-x_k=$\frac{π}{2}$（常數(shù)），
∴{a_n}為首項是a₁=$\frac{π}{3}$，公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列．
∴a_n=-$\frac{π}{6}$+$\frac{nπ}{2}$，n∈N*．
∴S_n=$\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=$\frac{n（\frac{π}{3}-\frac{π}{6}+\frac{nπ}{2}）}{2}$=$\frac{π}{4}$n²+$\frac{π}{12}$n，n∈N*．
（2）由題意可得f（θ）-$\sqrt{ab}$=t²cosθ+（1-t）²sinθ-t（1-t）
=（1+sinθ+cosθ）t²-（2sinθ+1）t+sinθ．
∴題意等價于（1+sinθ+cosθ）t²-（2sinθ+1）t+sinθ＞0對任意的t∈[0，1]恒成立．
令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．
由1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，
∴對稱軸t=$\frac{1+2sinθ}{2+2sinθ+2cosθ}$＜1恒成立．
∴對稱軸落在區(qū)間（0，1）內(nèi)．
∴題意等價于$\left\{\begin{array}{l}{sinθ＞0}\\{cosθ＞0}\\{△=（1+2sinθ）^{2}-4（1+sinθ+cosθ）sinθ＜0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{sinθ＞0}\\{cosθ＞0}\\{sin2θ＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即有$\left\{\begin{array}{l}{2{k}_{1}π＜θ＜π+2{k}_{1}π，{k}_{1}∈Z}\\{-\frac{π}{2}+2{k}_{2}π＜θ＜\frac{π}{2}+2{k}_{2}π，{k}_{2}∈Z}\\{\frac{π}{12}+{k}_{3}π＜θ＜\frac{5π}{12}+{k}_{3}π，{k}_{3}∈Z}\end{array}\right.$
可得$\frac{π}{12}$+2k₃π＜θ＜$\frac{5π}{12}$+2k₃π，k₃∈Z．
∴θ的取值范圍是[$\frac{π}{12}$+2kπ，$\frac{5π}{12}$+2kπ]，k∈Z．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)的恒等變換，以及等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題的解法，注意運(yùn)用對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．