Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+alnx
（1）當a=-8時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的定義域，當a=-8時，求出函數(shù)的導數(shù)，判斷導函數(shù)的符號，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）求出函數(shù)g（x）的解析式以及函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，得到不等式，然后構(gòu)造函數(shù)利用形式的導數(shù)求出新函數(shù)的最值，即可求出a的范圍．

解答 解：（1）由題意可知，函數(shù)的定義域為（0，+∞）…（1分）
當a=-8時，$f′（x）=2x-\frac{8}{x}=\frac{{2（{x+2}）（{x-2}）}}{x}$…（3分）
x∈（0，2）時，f′（x）＜0，函數(shù)是減函數(shù)；x∈（2，+∞），f′（x）≥0，函數(shù)是增函數(shù)．
所以單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）…（6分）
（2）g（x）=f（x）+$\frac{2}{x}$=x²+alnx+$\frac{2}{x}$，g′（x）=2x+$\frac{a}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
函數(shù)g（x）在[2，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)
所以g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立
即$a≥\frac{2}{x}-2{x^2}$在[2，+∞）上恒成立        …（9分）
令$ϕ（x）=\frac{2}{x}-2{x^2}$顯然ϕ（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞減
∴[ϕ（x）]_max=ϕ（2）=-7，∴a≥-7…（13分）
∴實數(shù)a的取值范圍為[-7，+∞）…..（14分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，構(gòu)造法的應用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及分析問題解決問題的能力．