Question

已知函數(shù)f（x）=|3x-1|+2x+

1

3

，x∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）已知m∈R，p：關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立；q：y=（m²-3）^x，x∈R是增函數(shù)．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復合命題的真假,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：簡易邏輯

分析：（Ⅰ）通過討論當x≥

1

3

時，當x≤

1

3

時的情況，從而求出函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）通過解不等式分別求出p真，p假；q真q假時的m的范圍，通過討論①p真q假時，②p假q真時的情況，從而求出m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當x≥

1

3

時，f（x）=5x-

2

3

，
當x≤

1

3

時，f（x）=-x+

4

3

，
∴x=

1

3

時，f（x）_最小值=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
若關于x的不等式f（x）≥m²+2m-2對任意x∈R恒成立，
則1≥m²+2m-2，解得：-3≤m≤1，
∴p真：-3≤m≤1，p假：m＞1或m＜-3，
若y=（m²-3）^x，x∈R是增函數(shù)，
則-2＜m＜2，
∴q真：-2＜m＜2，q

-3≤m≤1 m≥2或m≤-2

假：m≥2或m≤-2，
若“p∨q”為真，“p∧q”為假，
則p，q一真一假，
①p真q假時：

-3≤m≤1 m≥2或m≤-2

，∴-3≤m≤-2；
②p假q真時：

m＞1或m＜-3 -2＜m＜2

，∴1≤m≤2，
綜上：m∈[-3，-2]∪[1，2]．

點評：本題考查了復合命題的真假，考查了函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．