Question

定義函數(shù)d（x）=

1，  x∈Q 0，  x∉Q

，f（x）=1gx，那么下列命題中正確的序號(hào)是

 

．（把所有可能的圖的序號(hào)都填上）．
①函數(shù)d（x）為偶函數(shù)；②函數(shù)d（x）為周期函數(shù)，且任何非零實(shí)數(shù)均為其周期；
③方程d（x）=f（x）有兩個(gè)不同的根．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知中函數(shù)d（x）=

1，  x∈Q 0，  x∉Q

，f（x）=1gx，分析d（x）的奇偶性與周期性，可判斷①②；分析方程d（x）=f（x）根的個(gè)數(shù)，可判斷③．

解答： 解：∵函數(shù)d（x）=

1，  x∈Q 0，  x∉Q

，f（x）=1gx，
對(duì)于①，當(dāng)x∈Q時(shí)，d（-x）=d（x）=1，
當(dāng)x∉Q時(shí)，d（-x）=d（x）=0，
即d（-x）=d（x）恒成立，
函數(shù)d（x）為偶函數(shù)，故正確；
對(duì)于②，函數(shù)d（x）為周期函數(shù)，且任何非零有理數(shù)均為其周期，故錯(cuò)誤；
對(duì)于③，當(dāng)且僅當(dāng)x=10時(shí)，d（x）=f（x），故方程d（x）=f（x）僅有一個(gè)根，故錯(cuò)誤．
故答案為：①

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的奇偶性，周期性，函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．