Question

11．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為上底面A₁B₁C₁D₁的中心，則AO與B₁C所成角的余弦值為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AO與B₁C所成角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A（2，0，0），O（1，1，2），B₁（2，2，2），C（0，2，0），
$\overrightarrow{AO}$=（-1，1，2），$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-2，0，-2），
設(shè)AO與B₁C所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{{B}_{1}C}|}{|\overrightarrow{AO}|•|\overrightarrow{{B}_{1}C}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴AO與B₁C所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．