Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωxcosωx，函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0．
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的公式將函數(shù)進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式進行求解即可．
（2）求出角2x-$\frac{π}{6}$的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{1-cos2ωx}{2}$+$\sqrt{3}$sinωxcosωx
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx+$\frac{1}{2}$=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω＞0，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，
解答ω=1．
∴f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
（2）∵x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得：
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$即x=$\frac{π}{3}$時，g（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）取最大值1
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$即x=-$\frac{π}{12}$時  g（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）取最小值-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$≤$\frac{3}{2}$，
即f（x）的值域為[$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及三角函數(shù)的周期公式，利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式進行化簡是解決本題的關(guān)鍵．