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20.若對(duì)?x,y∈(0,+∞),不等式4xlna≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,則正實(shí)數(shù)a的最大值是e

分析 設(shè)f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,原不等式恒成立即為4xlna≤f(x)(x,y∈(0,+∞))恒成立,運(yùn)用基本不等式和參數(shù)分離可設(shè)2lna≤1+ex2x在x>0時(shí)恒成立,再令g(x)=1+ex2x,通過求導(dǎo),判斷單調(diào)性,求得g(x)的最小值,即可求得正實(shí)數(shù)a的最大值.

解答 解:設(shè)f(x)=ex+y-2+ex-y-2+2,
不等式4xlna≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,
即為不等式4xlna≤f(x)恒成立,即f(x)=ex-2(ey+e-y)+2≥2+2ex-2(當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí),取等號(hào)),
故4xlna≤2+2ex-2,即2lna≤1+ex2x在x>0時(shí)恒成立,
令g(x)=1+ex2x,
g′(x)=ex2x11x2,令g′(x)=0,得(x-1)ex-2=1,
令h(x)=(x-1)ex-2,h′(x)=xex-2
原不等式恒成立即為4xlna≤f(x)(x,y∈(0,+∞))恒成立,
運(yùn)用基本不等≥式和參數(shù)分離可設(shè)2lna≤1+ex2x在x>0時(shí)恒成立,
再令g(x)=1+ex2x,通過求導(dǎo),
當(dāng)x>0時(shí),h(x)遞增,由于h(2)=1,即有(x-1)ex-2=1的根為2,
當(dāng)x>2時(shí),h(x)遞增,當(dāng)0<x<2時(shí),g(x)遞減,
即有x=2時(shí),g(x)取得最小值1,則有2lna≤1,∴0<a≤e,
∴正實(shí)數(shù)a的最大值是e,
故答案為:e

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問題,注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,運(yùn)用參數(shù)分離與構(gòu)造函數(shù)、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是難點(diǎn),屬于難題.

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