Question

20．若對(duì)?x，y∈（0，+∞），不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最大值是$\sqrt{e}$．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，原不等式恒成立即為4xlna≤f（x）（x，y∈（0，+∞））恒成立，運(yùn)用基本不等式和參數(shù)分離可設(shè)2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0時(shí)恒成立，再令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，通過(guò)求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，求得g（x）的最小值，即可求得正實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：設(shè)f（x）=e^x+y-2+e^x-y-2+2，
不等式4xlna≤e^x+y-2+e^x-y-2+2恒成立，
即為不等式4xlna≤f（x）恒成立，即f（x）=e^x-2（e^y+e^-y）+2≥2+2e^x-2（當(dāng)且僅當(dāng)y=0時(shí)，取等號(hào)），
故4xlna≤2+2e^x-2，即2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0時(shí)恒成立，
令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，
g′（x）=$\frac{{e}^{x-2}（x-1）-1}{{x}^{2}}$，令g′（x）=0，得（x-1）e^x-2=1，
令h（x）=（x-1）e^x-2，h′（x）=xe^x-2，
原不等式恒成立即為4xlna≤f（x）（x，y∈（0，+∞））恒成立，
運(yùn)用基本不等≥式和參數(shù)分離可設(shè)2lna≤$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$在x＞0時(shí)恒成立，
再令g（x）=$\frac{1{+e}^{x-2}}{x}$，通過(guò)求導(dǎo)，
當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）遞增，由于h（2）=1，即有（x-1）e^x-2=1的根為2，
當(dāng)x＞2時(shí)，h（x）遞增，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，g（x）遞減，
即有x=2時(shí)，g（x）取得最小值1，則有2lna≤1，∴0＜a≤$\sqrt{e}$，
∴正實(shí)數(shù)a的最大值是$\sqrt{e}$，
故答案為：$\sqrt{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式恒成立問(wèn)題，注意轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用參數(shù)分離與構(gòu)造函數(shù)、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是難點(diǎn)，屬于難題．