Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)O，有頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），離心率e=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，過橢圓右焦點(diǎn)傾斜角為30°的直線交橢圓與點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程．
（2）求三角形OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可知焦點(diǎn)在x軸，a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，即可求得b²，求得橢圓方程；
（2）根據(jù)題意求得直線方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得丨AB丨，及點(diǎn)到直線的距離公式求得原點(diǎn)O到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式求得三角形OAB的面積．

解答 解：（1）由題意可知焦點(diǎn)在x軸，a=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，
由a²=b²+c²，解得b²=1，
∴橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
（2）由題意可知右焦點(diǎn)（$\sqrt{3}$，0），則直線方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\sqrt{3}$），即y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入橢圓方程整理得：7x²-8$\sqrt{3}$x=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系x₁+x₂=$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，x₁•x₂=0，
由弦長(zhǎng)公式丨AB丨=$\sqrt{1+\frac{1}{3}}•\sqrt{（\frac{8\sqrt{3}}{7}）^{2}}$=$\frac{16}{7}$，
由原點(diǎn)O到直線的距離為：d=$\frac{丨1丨}{\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴△OAB的面積S=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{16}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．
∴△OAB的面積S=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，考查韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式，考查三角形的面積的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．