Question

2．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)D（1，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，且|DF|=2．
（I）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過定點(diǎn)M（m，0）（m＞0）的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，且滿足：$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BM}$．
（i）當(dāng)m=$\frac{p}{2}$時，求證：λ+μ為定值；
（ii）若點(diǎn)R是直線l：x=-m上任意一點(diǎn)，三條直線AR，BR，MR的斜率分別為k_AR，k_BR，k_MR，問是否存在常數(shù)t，使得．k_AR+k_BR=t•k_MR．恒成立？若存在求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）點(diǎn)D（1，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，且|DF|=2． 利用拋物線等于可得1+$\frac{p}{2}$=2，解得p，即可得出拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（II）（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），當(dāng)m=$\frac{p}{2}$=1時，M（1，0），直線AB的斜率存在且不為0，可設(shè)直線AB的方程為：x=ty+1（t≠0），可得N$（0，-\frac{1}{t}）$．與拋物線方程聯(lián)立，可得：y²-4ty-4=0，由$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BM}$，可得${y}_{1}+\frac{1}{t}$=λ（-y₁），${y}_{2}+\frac{1}{t}$=μ（-y₂），利用根與系數(shù)的關(guān)系代入λ+μ，化簡即可得出定值．
（ii）先取特殊情況探索三條直線AR，BR，MR的斜率之間的關(guān)系，當(dāng)AB⊥x軸時，設(shè)A（m，y₀），B（m，-y₀），R（-m，y₃），利用斜率計(jì)算公式可得k_AR+k_BR=2•k_MR．
下面證明一般情況成立．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（-m，y₃），直線AB的斜率不等于0，可設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m．與拋物線方程聯(lián)立化為：y²-4ty-4m=0，利用斜率計(jì)算公式及其${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$，根與系數(shù)的關(guān)系代入可得：k_AR+k_BR=$-\frac{{y}_{3}}{m}$=2•k_MR．

解答 解：（I）∵點(diǎn)D（1，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，且|DF|=2．∴1+$\frac{p}{2}$=2，解得p=2．
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x．
（II）證明：（i）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當(dāng)m=$\frac{p}{2}$=1時，M（1，0），直線AB的斜率存在且不為0，
可設(shè)直線AB的方程為：x=ty+1（t≠0），可得N$（0，-\frac{1}{t}）$．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+1}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，可得：y²-4ty-4=0，∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4．
∵$\overrightarrow{NA}$=λ$\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{NB}$=μ$\overrightarrow{BM}$，∴${y}_{1}+\frac{1}{t}$=λ（-y₁），${y}_{2}+\frac{1}{t}$=μ（-y₂），
∴λ+μ=-1-$\frac{1}{t{y}_{1}}$-1-$\frac{1}{t{y}_{2}}$=-2-$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{t{y}_{1}{y}_{2}}$=-2-$\frac{4t}{-4t}$=-1．為定值．
（ii）先取特殊情況探索三條直線AR，BR，MR的斜率之間的關(guān)系，
當(dāng)AB⊥x軸時，設(shè)A（m，y₀），B（m，-y₀），R（-m，y₃），
則k_AR=$\frac{{y}_{0}-{y}_{3}}{2m}$，k_MR=$\frac{{y}_{3}}{-2m}$，k_BR=$\frac{{y}_{3}+{y}_{0}}{-2m}$，則k_AR+k_BR=2•k_MR．
下面證明一般情況成立．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），R（-m，y₃），
直線AB的斜率不等于0，可設(shè)直線AB的方程為：x=ty+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化為：y²-4ty-4m=0，∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m．
則k_AR=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}+m}$，k_MR=$\frac{{y}_{3}}{-2m}$，k_BR=$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{{x}_{2}+m}$，則k_AR+k_BR=$\frac{{y}_{1}-{y}_{3}}{{x}_{1}+m}$+$\frac{{y}_{2}-{y}_{3}}{{x}_{2}+m}$=$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}m-{y}_{3}{x}_{2}-{y}_{3}m+{y}_{2}{x}_{1}+{y}_{2}m-{y}_{3}{x}_{1}-{y}_{3}m}{{x}_{1}{x}_{2}+m（{x}_{1}+{x}_{2}）+{m}^{2}}$，
又${y}_{1}^{2}=4{x}_{1}$，${y}_{2}^{2}=4{x}_{2}$．代入可得：k_AR+k_BR=$\frac{\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{4}（{y}_{1}+{y}_{2}）+m（{y}_{1}+{y}_{2}）-\frac{{y}_{3}}{4}（{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}）-2m{y}_{3}}{\frac{（{y}_{1}{y}_{2}）^{2}}{16}+m•\frac{{y}_{1}^{2}+{y}_{2}^{2}}{4}+{m}^{2}}$，
把y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4m代入化簡可得：k_AR+k_BR=$-\frac{{y}_{3}}{m}$=2•k_MR．
綜上可得：三條直線AR，BR，MR的斜率滿足k_AR+k_BR=2•k_MR．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、斜率計(jì)算公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論方法、探索能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．