分析 (1)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x∈(0,+∞),利用函數(shù)F(x)的單調(diào)性,只需求出F(x)值域即可;
(2)構(gòu)造函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,x∈(0,+∞),利用其單調(diào)性,討論其值域情況即可.
解答 解:(1)令F(x)=f(x)-x=ln(1+x)-x,x∈(0,+∞),
則有F′(x)=$\frac{1}{1+x}$-1=-$\frac{x}{1+x}$.…(3分)
當(dāng)x∈(0,+∞)時,F(xiàn)′(x)<0,所以F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;…(6分)
故當(dāng)x>0時,F(xiàn)(x)<F(0)=0,即當(dāng)x>0時,f(x)<x.…(8分)
(2)令G(x)=f(x)-g(x)=ln(1+x)-kx,x∈(0,+∞),
則有G′(x)=$\frac{1}{1+x}$-k=$\frac{-kx+(1-k)}{1+x}$.…(10分)
當(dāng)k≤0時G′(x)>0,所以G(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
G(x)>G(0)=0,故對任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.…(13分)
當(dāng)0<k<1時,令G′(x)=0,得x=$\frac{1-k}{k}$=$\frac{1}{k}$-1>0.
取x0=$\frac{1}{k}$-1,對任意x∈(0,x0),恒有G′(x)>0,…(16分)
從而G(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,G(x)>G(0)=0,即f(x)>g(x).…(18分)
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)中的證明恒成立不等式,構(gòu)造新函數(shù),利用新函數(shù)的單調(diào)性處理的基本方法必須掌握,屬于中檔題.
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A. | $\frac{5}{4}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{6}{5}$ |
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