分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出BC⊥BD,AB⊥BC.由此能證明平面BCE⊥平面ABD.
(Ⅱ) 取線段BD的中點(diǎn)G,連接EG,CG,推導(dǎo)出EG⊥平面BCD,∠ECG為直線CE和平面BCD所成的角,由此能求出直線CE和平面BCD所成的角的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)∵$BC=BD=1,CD=\sqrt{2}$,
∴BC2+BD2=CD2,∴BC⊥BD.…(2分)
∵AB⊥平面BCD,BC?平面BCD,∴AB⊥BC.
又∵AB∩BD=B,∴BC⊥平面ABD.…(4分)
又BC?平面BCE,
∴平面BCE⊥平面ABD…(6分)
解:(Ⅱ) 取線段BD的中點(diǎn)G,連接EG,CG.
在△ABD中,∵AE=ED,BG=GD,
∴EG∥AB.∵AB⊥平面BCD,∴EG⊥平面BCD…(8分)
∴直線EC在平面BCD內(nèi)的射影為CG,
∠ECG為直線CE和平面BCD所成的角…(9分)
在△ABD中,$EG=\frac{1}{2}AB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$.
在△BCD中,$C{G^2}=B{C^2}+B{G^2}-2BC•BG•cos\frac{2π}{3}=\frac{7}{4}$,CG=$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$.
在△ECG中,$E{C^2}=E{G^2}+C{G^2}=\frac{5}{2}$,∴$EC=\frac{{\sqrt{10}}}{2}$.
在Rt△ECG中,$cos∠ECG=\frac{CG}{CE}=\frac{{\sqrt{70}}}{10}$,
∴直線CE和平面BCD所成的角的余弦值為$\frac{\sqrt{70}}{10}$.…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明,考查線面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
男生投擲距離(米) | … | [5.4,6.0) | [6.0,6.6) | [6.6,7.4) | [7.4,7.8) | [7.8,8.6) | [8.6,10.0) | [10.0,+∞) |
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A. | $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$ | B. | $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$ | C. | $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$ | D. | $\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$ |
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