Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2016}$；
（1）令b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$，S_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求$\frac{{S}_{n}{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}}$的值
（2）是否存在k∈N₊，使得a_k＜1＜a_k+1，若存在，求出所有滿足條件的k值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，化簡整理即可得到所求值；
（2）假設(shè)存在k∈N₊，使得a_k＜1＜a_k+1，再由不等式的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{2016}$，
可得b_n=$\frac{1}{{a}_{n}+2016}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
可得S_n=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$
=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
則$\frac{{S}_{n}{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}}$=S_n+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$=2；
（2）假設(shè)存在k∈N₊，使得a_k＜1＜a_k+1，
由a_k+1=a_k+$\frac{{{a}_{k}}^{2}}{2016}$＞1，解得a_k＞$\frac{\sqrt{2016×2020}-2016}{2}$，
可得$\frac{\sqrt{2016×2020}-2016}{2}$＜a_k＜1成立，
但a₁=$\frac{1}{2}$，a₂=a₁+$\frac{{{a}_{1}}^{2}}{2016}$＜a₁+a₁²=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$，
…，a_n＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$＜1，
故不存在k∈N₊，使得a_k＜1＜a_k+1．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用不等式的性質(zhì)和等比數(shù)列的求和公式，屬于中檔題．