Question

14．在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，（a_n+1-1）（a_n-1）+2a_n+1-2a_n=0（n∈N^*），若a_n＜$\frac{51}{50}$，則n的最小值為100．

Answer 1

分析 令a_n-1=b_n，確定$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$，可得數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}是以1為首項(xiàng)，$\frac{1}{2}$為公差的等差數(shù)列，求出b_n=$\frac{2}{n+1}$，可得a_n=$\frac{2}{n+1}$+1，利用a_n＜$\frac{51}{50}$建立不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：令a_n-1=b_n，則
∵（a_n+1-1）（a_n-1）+2a_n+1-2a_n=0，
∴b_n+1b_n+2b_n+1-2b_n=0
∴$\frac{1}{_{n+1}}$-$\frac{1}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∵a₁=2，∴$\frac{1}{_{1}}$=1，
∴$\frac{1}{_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，
∴b_n=$\frac{2}{n+1}$，
∴a_n-1=$\frac{2}{n+1}$，
∴a_n=$\frac{2}{n+1}$+1，
∵a_n＜$\frac{51}{50}$，
∴$\frac{2}{n+1}$+1＜$\frac{51}{50}$，
∴n＞99，
∴n的最小值為100．
故答案為：100．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的判定，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．