Question

12．給出定義：若m-$\frac{1}{2}$＜x≤m+$\frac{1}{2}$（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}，即{x}=m．在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)f（x）=x-{x}的四個(gè)命題：
①點(diǎn)（k，0）是y=f（x）的圖象的對稱中心，其中k∈Z；
②y=f（x）的定義域是R，值域是（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]；
③函數(shù)y=f（x）的最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函數(shù)．
則上述命題中真命題的序號是②③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)f（2k-x）與f（x）的關(guān)系，可以判斷函數(shù)y=f（x）的圖象是否關(guān)于點(diǎn)（k，0）（k∈Z）對稱；
②根據(jù)讓函數(shù)解析式有意義的原則確定函數(shù)的定義域，然后根據(jù)解析式易用分析法求出函數(shù)的值域；
③再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；
而由②的結(jié)論，易判斷函數(shù)y=f（x）在 （$-\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上的單調(diào)性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個(gè)反例．

解答 解：①∵f（2k-x）=（2k-x）-{2k-x}=（-x）-{-x}=$\left\{\begin{array}{l}{0，m≤x≤m+\frac{1}{2}}\\{1，m-\frac{1}{2}＜x＜m}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)（k，0）（k∈Z）不是y=f（x）的圖象的對稱中心；故①錯(cuò)；
②令x=m+a，a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]
∴f（x）=x-{x}=a∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]，故②正確，
③，∵f（x+1）=（x+1）-{x+1}=x-{x}=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④x=-$\frac{1}{2}$時(shí)，m=-1，f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$，
x=$\frac{1}{2}$時(shí)，m=0，則f（ $\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$
所以f（-$\frac{1}{2}$）=f（ $\frac{1}{2}$），則函數(shù)y=f（x）在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]上是增函數(shù)錯(cuò)誤，
故答案為：②③

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是利用函數(shù)的三要素、性質(zhì)判斷命題的真假，我們要根據(jù)定義中給出的函數(shù)，結(jié)合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調(diào)性的證明方法，對4個(gè)結(jié)論進(jìn)行驗(yàn)證．