Question

1．已知函數(shù)$f（x）=\frac{x-a}{x+1}{e^x}$，在定義域內(nèi)有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）．

Answer 1

分析 本題屬于利用導函數(shù)判斷函數(shù)是否存在極值點問題．（1）首先對函數(shù)f（x）進行求導運算，得到f′（x）=$\frac{{e}^{x}}{（x+1）^{2}}（{x}^{2}+x-ax+1）$；（2）要使得f（x）有極值點，則f（x）導函數(shù)f'（x）的函數(shù)圖形需要穿過x軸，即同時存在某個特定區(qū)間使得f'（x）＞0和f'（x）＜0．則對 h（x）=x²+x-ax+1函數(shù)利用△來判斷是否存在零點．

解答 解：由題意知：$f（x）=\frac{x-a}{x+1}{e}^{x}$
對f（x）進行求導：
$f'（x）=（\frac{x-a}{x+1}）′{e}^{x}+（\frac{x-a}{x+1}）{（e}^{x}）′$
=${e}^{x}[\frac{a+1}{（x+1）^{2}}+\frac{x-a}{x+1}]$
=${e}^{x}[\frac{{x}^{2}+x-ax+1}{（x+1）^{2}}]$
=$\frac{{e}^{x}}{（x+1）^{2}}（{x}^{2}+x-ax+1）$
∵$\frac{{e}^{x}}{（x+1）^{2}}＞0$，
要使得f（x）有極值點，則f（x）導函數(shù)f'（x）的函數(shù)圖形需要穿過x軸，即同時存在某個特定區(qū)間使得f'（x）＞0和f'（x）＜0．
令 h（x）=x²+x-ax+1
則△=（1-a）²-4⇒a＜-1 或 a＞3．
故答案為：（-∞，-1）∪（3，+∞）

點評 本題屬于利用導函數(shù)判斷函數(shù)是否存在極值點問題．主要考查了導函數(shù)運算，導函數(shù)零點與原函數(shù)極值點的分析理解．