Question

4．已知離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$的橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，線段OF₁，OF₂（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的中點(diǎn)分別為B₁，B₂，上頂點(diǎn)為A，且△AB₁B₂是腰長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的等腰三角形．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過B₁點(diǎn)作直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，使PB₂⊥QB₂，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，得出b=$\frac{c}{2}$．利用△AB₁B₂是腰長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的等腰三角形，求出c，可得a，b，即可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）B₁（-2，0），B₂（2，0），設(shè)直線PQ的方程為x=my-2代入橢圓方程，得（m²+5）y²-4my-16=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（I）∵離心率為$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$，∴$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，b=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，∴b=$\frac{c}{2}$．
∵△AB₁B₂是腰長(zhǎng)為2$\sqrt{2}$的等腰三角形，∴c=$\sqrt{2}•2\sqrt{2}$=4
∴a=2$\sqrt{5}$，∴b=2
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（Ⅱ）由（Ⅱ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），設(shè)直線PQ的方程為x=my-2代入橢圓方程，
消元可得（m²+5）y²-4my-16=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{4m}{{m}^{2}+5}$，y₁y₂=-$\frac{16}{{m}^{2}+5}$
∵PB₂⊥QB₂，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=-$\frac{16{m}^{2}-64}{{m}^{2}+5}$=0，
解得m=±2，
∴滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查直線方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．