Question

1．求下列函數(shù)的最大值．
（1）f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx；
（2）f（x）=sinx+cosx；
（3）f（x）=3sinx+4cosx；
（4）f（x）=asinx+bcosx（a，b＞0）

Answer 1

分析 利用輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最大值得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx=sin（x+$\frac{π}{4}$），故它的最大值為1；
（2）f（x）=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），故它的最大值為$\sqrt{2}$；
（3）f（x）=3sinx+4cosx=5（$\frac{3}{5}$sinx+$\frac{4}{5}$cosx）=5sin（x+θ），
其中，cosθ=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\frac{4}{5}$，θ為銳角；故它的最大值為5；
（4）f（x）=asinx+bcosx（a，b＞0）=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$ （$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$sinx+$\frac{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$cosx）
=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ），故它的最大值為$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題．