Question

已知定義在R上的函數(shù)滿足f（1）=5，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）＜2x+3，則不等式f（x）＜x²+3x+1的解集為（　�。�

• A、{x|-1＜x＜1}
• B、{x|x＜1}
• C、{x|x＞1}
• D、{x|x＜-1或x＞1}

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-（x²+3x+1），求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和單調(diào)性之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)g（x）=f（x）-（x²+3x+1），
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=f′（x）-2x-3，
∵f′（x）＜2x+3，
∴g′（x）=f′（x）-2x-3＜0，
即函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
則g（1）=f（1）-5=5-5=0，
即不等式f（x）＜x²+3x+1等價(jià)為g（x）＜0，
即等價(jià)為g（x）＜g（1），
解得x＞1，
故不等式的解集為{x|x＞1}，
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．