Question

9．如圖，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁分別是棱AD、AA₁的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（1）證明：直線EE₁∥平面FCC₁；
（2）求異面直線EE₁和C₁F所成的角．

Answer 1

分析 （1）證明平面FCC₁∥平面ADD₁A₁，從而得出EE₁∥平面FCC₁；
（2）連接AD₁交A₁D于點O，則可證明AD₁∥FC₁，EE₁∥A₁D，故而∠A₁OA即為所求角．

解答 證明（1）∵梯形ABCD為等腰梯形，F(xiàn)為AB的中點，
∴四邊形AFCD為平行四邊形，∴AD∥CF，
又∵AD?平面ADD₁A，∴FC∥平面ADD₁A，
∵CC₁∥DD₁且 DD₁?ADD₁A₁，∴CC₁∥平面ADD₁A，
又∵CC₁∩FC=C且CC₁?平面CC₁F，F(xiàn)C?平面CC₁F，
∴平面CC₁F∥平面A₁ADD₁．
又∵EE₁?A₁ADD₁，
∴EE₁∥平面FCC₁．
（2）連接AD₁，A₁D，兩直線交于點O．
∵D₁C₁與AF平行且相等，∴D₁AFC₁為平行四邊形  D₁A∥FC₁
又∵E₁E為三角形A₁AD的中位線∴EE₁∥A₁D
則角A₁OA為所求異面直線的夾角．
∵DD₁⊥AD，AD=DD₁=2，
四邊形A₁ADD₁為正方形，
則∠A₁OA=90°，
∴EE₁與C₁F所成的角為90°．

點評 本題考查了線面平行的判定定理，異面直線所成的角，屬于中檔題．