Question

18．已知橢圓的焦點F₁、F₂在x軸上，P為橢圓上一點，且2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，又該橢圓經(jīng)過點A（1，-$\frac{3}{2}$）．
（1）求此橢圓的方程；
（2）若點P在第二象限，∠F₂F₁P=120°，求△PF₁F₂的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，該橢圓經(jīng)過點A（1，-$\frac{3}{2}$）．可得：4c=2a，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）由∠F₂F₁P=120°，可得直線PF₁的方程為：y=-$\sqrt{3}$（x+1），與橢圓方程聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可設(shè)橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由2|F₁F₂|=|PF₁|+|PF₂|，該橢圓經(jīng)過點A（1，-$\frac{3}{2}$）．可得：4c=2a，$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}$=1，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b²=3，c=1．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵∠F₂F₁P=120°，∴直線PF₁的方程為：y=-$\sqrt{3}$（x+1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\sqrt{3}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，點P在第二象限，解得P$（-\frac{8}{5}，\frac{3\sqrt{3}}{5}）$．
∴△PF₁F₂的面積S=$\frac{1}{2}$y_P•2c=$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．