Question

3．已知函數(shù)f（x）=|2x+1︳+|2x-3︳
（1）求不等式f（x）≤6 的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式|a-1︳＜f（x）的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論2x-3和2x+1的正負(fù)化簡絕對值代入到f（x）≤6中，求出并集即可；
（2）|2x+1︳+|2x-3︳≥|2x+1-2x+3︳=4，關(guān)于x的不等式|a-1︳＜f（x）的解集為R，所以|a-1︳＜4，即可求出a的取值范圍．

解答 解：（1）①當(dāng)x≥$\frac{3}{2}$時，解得x≤2，所以$\frac{3}{2}$≤x≤2；
②x≤-$\frac{1}{2}$時，解得x≥-1，所以-1$≤x≤-\frac{1}{2}$；
③當(dāng)-$\frac{1}{2}$$＜x＜\frac{3}{2}$時，解得x∈R，所以-$\frac{1}{2}$$＜x＜\frac{3}{2}$；
綜上：不等式的解集為x|-1≤x≤2}；
（2）因為|2x+1︳+|2x-3︳≥|2x+1-2x+3︳=4，關(guān)于x的不等式|a-1︳＜f（x）的解集為R，
所以，|a-1︳＜4，解得-3＜a＜5   …（10分）

點評 考查學(xué)生理解函數(shù)恒成立時所取的條件，以及會分情況討論求出絕對值不等式的解集．