Question

14．設(shè)f（x）=-x²-kx+2lnx-k+3．
（1）當(dāng)k=0時(shí)，其f（x）的單調(diào)區(qū)間及最大值；
（2）若不等式f（x）＞0僅存在一個(gè)整數(shù)解，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）不等式f（x）＞0，即k（x+1）＜-x²+2lnx+3，令g（x）=k（x+1），則直線g（x）恒過(guò)（-1，0），由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k＜-1+3}\\{3k＞-4+2ln2+3}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）當(dāng)k=0時(shí)，f（x）=-x²+2lnx+3（x＞0），則f′（x）=$\frac{-2（x+1）（x-1）}{x}$，
∴0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0；x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞），x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值2；
（2）不等式f（x）＞0，即k（x+1）＜-x²+2lnx+3
令g（x）=k（x+1），則直線g（x）恒過(guò)（-1，0），
由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2k＜-1+3}\\{3k＞-4+2ln2+3}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{4}{3}$+$\frac{2}{3}$ln2＜k＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．