Question

13．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知2cosA（bcosC+ccosB）=a．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{7}$，b+c=5，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得2cosAsinA=sinA，從而可求cosA=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍A∈（0，π），即可得解A的值．
（2）由已知及余弦定理可得7=25-3bc，解得bc=6，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由已知及正弦定理可得：2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA，…2分
可得：2cosAsin（B+C）=sinA，
解得：2cosAsinA=sinA，即：cosA=$\frac{1}{2}$，…5分
由于：A∈（0，π），
所以：A=$\frac{π}{3}$…6分
（2）由已知及余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccsoA=（b+c）²-2bc（1+cosA），…7分
因?yàn)椋篴=$\sqrt{7}$，b+c=5，cosA=$\frac{1}{2}$，
所以：7=25-3bc，解得：bc=6，…10分
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．