Question

11．某幾何體三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（　　）

• A． $\frac{{41\sqrt{41}π}}{48}$
• B． 12π
• C． $\frac{25π}{4}$
• D． $\frac{41π}{4}$

Answer 1

分析 由三視圖知：幾何體為三棱錐S-ABC，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．
如圖：△ABC的外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)E，設(shè)該幾何體的外接球的球心為O．OE⊥底面ABC，設(shè)OE=x，外接球的半徑為R，利用勾股定理即可得出．

解答 解：由三視圖知：幾何體為三棱錐S-ABC，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面SAC垂直于底面ABC，高SD=2，AD=DC=1．
底面為等腰直角三角形，直角邊長(zhǎng)為2，如圖：
∴△ABC的外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)E，設(shè)該幾何體的外接球的球心為O．
OE⊥底面ABC，
設(shè)OE=x，外接球的半徑為R，
則${x}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}$=1+（2-x）²，
解得x=$\frac{3}{4}$．
∴R²=$\frac{41}{16}$，
∴外接球的表面積S=4π×R²=$\frac{41π}{4}$．
故答案為：$\frac{41π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的三視圖、空間位置關(guān)系、外接球的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．