Question

6．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=-1+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1$．
（ I）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（ II）若直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （I）曲線C的參數(shù)方程消去參數(shù)α，求出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，由此能求出曲線C的極坐標(biāo)方程；由直線l的極坐標(biāo)方程，能求出直線l的直角坐標(biāo)方程．
（II）圓C的圓心C（1，-1）到直線l：x+y-1=0的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，從而求出|AB|，再求出O（0，0）到直線l：x+y-1=0的距離h，由此能求出△OAB的面積．

解答 解：（I）∵曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\sqrt{2}cosα}\\{y=-1+\sqrt{2}sinα}\end{array}}\right.$（α為參數(shù)），
∴消去參數(shù)α，得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+1）²=2，即x²+y²-2x+2y=0，
∴曲線C的極坐標(biāo)方程式為ρ=2cosθ-2sinθ，即$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，
∵直線l的極坐標(biāo)方程$\sqrt{2}ρsin（θ+\frac{π}{4}）=1，即ρ（sinθ+cosθ）=1$．
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0．
（II）圓C的圓心C（1，-1）到直線l：x+y-1=0的距離為：
d=$\frac{|1-1-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{2-\frac{1}{2}}$=$\sqrt{6}$，
O（0，0）到直線l：x+y-1=0的距離h=$\frac{|0+0-1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△OAB的面積S_△OAB=$\frac{1}{2}×|AB|×h$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查考查直線方程的求法，考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化、點(diǎn)到直線的距離公式、弦長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．