Question

8．如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上（不含C點），DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（1）求證：PB⊥DE；
（2）若PE⊥BE，AE=1，
①試在線段BP上找一點M，使得CM∥平面PDE，求BM的長；
②求二面角D-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行證明，
（2）①取BF=2，則EF=1，CF∥DE．在PB上取M，使得BM：MP=2：1，則MF∥PE，證明平面MFC∥平面PED，可得結(jié)論；
②建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面PCD、平面PBC的法向量，即可求二面角D-PC-B的余弦值．

解答 證明：（1）∵DE⊥AB，∴DE⊥PE，DE⊥EB．…（2分）
又∵PE∩BE=E，∴DE⊥平面PEB．…（4分）
∵PB?平面PEB，∴PB⊥DE．…（5分）
（2）①取BF=2，則EF=1，CF∥DE．
在PB上取M，使得BM：MP=2：1，則MF∥PE，
∵PE∩DE=E，CF∩MF=F，
∴平面MFC∥平面PED，
∵CM?平面MFC，
∴CM∥平面PED，
∵PE⊥BE，PE⊥DE，BE∩DE=E，
∴PE⊥平面DEBC，
∴PE⊥BE，
∵PE=1，BE=3，
∴PB=$\sqrt{10}$，
∴BM=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$；
②建立如圖所示的坐標(biāo)系，則E（0，0，0），D（1，0，0），P（0，0，1），B（0，3，0），
∴$\overrightarrow{PD}$=（1，0，-1），$\overrightarrow{PC}$=（2，1，-1），$\overrightarrow{PB}$=（0，3，-1），
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x-z=0}\\{2x+y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，則$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
同理平面PBC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，1，3），
∴二面角D-PC-B的余弦值=$\frac{1-1+3}{\sqrt{3}•\sqrt{1+1+9}}$=$\frac{\sqrt{33}}{11}$．

點評 本題主要考查空間直線和平面垂直、平行的性質(zhì)定理以及二面角D-PC-B的余弦值，考查向量方法的運用，屬于中檔題．