【題目】我們知道一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像都是連續(xù)不斷的曲線,事實(shí)上,多項(xiàng)式函數(shù)的圖像都是如此.
(1)設(shè),且,若還有,求證:;
(2)設(shè)一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)有奇次項(xiàng)(),求證:總能通過(guò)只調(diào)整的系數(shù),使得調(diào)整后的多項(xiàng)式一定有零點(diǎn);
(3)現(xiàn)有未知數(shù)為的多項(xiàng)式方程(其中實(shí)數(shù)待定),甲、乙兩人進(jìn)行一個(gè)游戲:由甲開(kāi)始交替確定中的一個(gè)數(shù)(每次只能去確定剩余還未定的數(shù)),當(dāng)甲確定最后一個(gè)數(shù)后,若方程由實(shí)數(shù)解,則乙勝,反之甲勝,問(wèn):乙有必勝的策略嗎?若有,請(qǐng)給出策略并證明,若無(wú),請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析;(3)乙有必勝的策略,證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)對(duì)分兩種情況和討論證明;(2)記此多項(xiàng)式函數(shù)為,,為項(xiàng)系數(shù),分析得到,再利用零點(diǎn)存在性定理證明可得;(3)乙有必勝的策略. 乙前4次盡量去定偶次項(xiàng)系數(shù),就能保證甲第5次只能去定一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù).再證明得解.
(1)若,則;
若,則.
綜合得得證.
(2)記此多項(xiàng)式函數(shù)為,,為項(xiàng)系數(shù),時(shí),
,
同理:,
故由零點(diǎn)存在定理可知調(diào)整后的多項(xiàng)式函數(shù)一定在(-1,1)上存在零點(diǎn).
(3)乙有必勝的策略.
因待定系數(shù)的項(xiàng)共有5個(gè)奇數(shù)項(xiàng),而在乙最后一次定數(shù)前,甲只定了4個(gè)系數(shù),故乙前4次盡量去定偶次項(xiàng)系數(shù),就能保證甲第5次只能去定一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù).
設(shè)甲第5次確定了奇數(shù)項(xiàng)為的系數(shù)為設(shè)乙第4次確定項(xiàng)的系數(shù)為,并設(shè)此時(shí)多項(xiàng)式函數(shù)為,則有
由(1)式乘再加(2)式可得,
故當(dāng)乙在第四輪確定的系數(shù)時(shí),有,結(jié)合第(1)小題結(jié)論即知,故由零點(diǎn)存在性定理即得乙的上述策略是必勝的.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭,獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位:千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位:千元)的數(shù)據(jù)資料,算得=80, =20, =184, =720.
(1)求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程y=bx+a;
(2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān);
(3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測(cè)該家庭的月儲(chǔ)蓄.
附:線性回歸方程y=bx+a中, ,a=-b,其中, 為樣本平均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.己知圓的圓心的坐標(biāo)為半徑為,直線的參數(shù)方程為為參數(shù))
(Ⅰ)求圓C的極坐標(biāo)方程;直線的普通方程;
(Ⅱ)若圓C和直線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,取相同的長(zhǎng)度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車(chē)“忽如一夜春風(fēng)來(lái)”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車(chē)在市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到下表(單位:人):
(Ⅰ)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車(chē)情況與年齡有關(guān)?(Ⅱ)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(1)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車(chē)的人數(shù);
(2)從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車(chē)的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求a的值,并證明是R上的增函數(shù);
(2)若關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0的解集非空,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面有五個(gè)命題:
①函數(shù)的最小正周期是;
②終邊在y軸上的角的集合是;
③在同一坐標(biāo)系中,函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn);
④把函數(shù);
⑤在中,若,則是等腰三角形;
其中真命題的序號(hào)是( )
A.(1)(2)(3) B.(2)(3)(4)
C.(3)(4)(5) D.(1)(4)(5)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中, , ,以為直徑的圓記為圓,圓過(guò)原點(diǎn)的切線記為,若以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求圓的極坐標(biāo)方程;
(2)若過(guò)點(diǎn),且與直線垂直的直線與圓交于, 兩點(diǎn),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,離心率為,過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓于兩點(diǎn),與x軸交于P點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,直線交軸于點(diǎn).
(1)求橢圓方程;
(2)求證:為定值.
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