Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=ae^x（x+1）（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=x²+4x+b，已知它們?cè)趚=0處有相同的切線．
（1）求函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間；
（2）求曲線y=g（x）和直線y=x+2所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=g（0），f’（0）=g’（0）得到關(guān)于實(shí)數(shù)a，b的方程組，求解方程組可得函數(shù)的解析式，然后利用導(dǎo)函數(shù)討論的單調(diào)增區(qū)間即可．
（2）首先求得函數(shù)g（x）與函數(shù)y=x+2的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用定積分計(jì)算面積即可．

解答 解：（1）由題意可得：f'（x）=ae^x（x+2），g'（x）=2x+4，
結(jié)合函數(shù)的解析式有：f（0）=a，g（0）=b，且f'（0）=2a，g'（0）=4，
函數(shù)在x=0處有相同的切線，故$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=g（0）}\\{f'（0）=g'（0）}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{2a=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，據(jù)此可得函數(shù)的解析式：f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．
求解不等式f'（x）=2e^x（x+2）＞0 可得函數(shù)y=f（x）的增區(qū)間是（-2，+∞）．
（2）由（1）的結(jié)論可知：g（x）=x²+4x+2，
求解方程：g（x）=x²+4x+2=x+2可得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x₁=-3，x₂=0，
則曲線y=g（x）和直線y=x+2所圍成的圖形的面積為 $S={∫}_{-3}^{0}[（x+2）-（{x}^{2}+4x+2）]=\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線，定積分求解面積等，屬于中等題．