Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ln

x+1

x-1

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，并證明；
（Ⅱ）對于區(qū)間[2，4]上的任意一個x，不等式f（x）≥e^x+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）利用函數(shù)單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)性，得到本題結(jié)論；
（Ⅱ）先將不等式f（x）≥e^x+m轉(zhuǎn)化為不等式f（x）-e^x≥m，再利用導(dǎo)函數(shù)研究f（x）-e^x在區(qū)間[2，4]上的最小值，可得到本題結(jié)論．

解答： （Ⅰ）判斷結(jié)論：函數(shù)f（x）=ln

x+1

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)．
證明：在區(qū)間（1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則：1＜x₁＜x₂，
∴x₂-1＞x₁-1＞0，
∴0＜

1

x2-1

＜

1

x1-1

，
∴1＜1+

2

x2-1

＜1+

2

x1-1

，
即：

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

＞1，
∴ln

x1+1

x1-1

＞ln

x2+1

x2-1

，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函數(shù)f（x）=ln

x+1

x-1

在區(qū)間（1，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)．
（Ⅱ）解：∵f（x）≥e^x+m，
∴m≤f（x）-e^x，
記g（x）=f（x）-e^x，
∴g（x）=ln

x+1

x-1

-e^x，x∈[2，4]，
由（Ⅰ）知：ln

x+1

x-1

在（1，+∞）上的單調(diào)遞減，
又∵-e^x在（1，+∞）上的單調(diào)遞減，
∴g（x）=ln

x+1

x-1

-e^x在（1，+∞）上的單調(diào)遞減，
∴g（x）=ln

x+1

x-1

-e^x在[2，4]上的單調(diào)遞減，
∴g（x）≥g（4）=ln

5

3

-e⁴．
∴m≤ln

5

3

-e⁴．
∴實數(shù)m的取值范圍是m≤ln

5

3

-e⁴．

點評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義和應(yīng)用，本題難度適中，屬于中檔題．